ようこそ！サルボルトだよ
今回は、電場（でんば）と電位（でんい）について勉強しよう。
電磁気（でんじき）の分野で、み〜んなが最初に「？？？」ってなる、最重要単語の2トップだ。
「電場」も「電位」も、目に見えない。だからイメージが湧かなくて、
「\(E = F/q\) と \(V = U/q\) … どっちがどっち？」
「\(E = kQ/r^2\) と \(V = kQ/r\) … なんで片方は2乗で、片方は1乗なの？」
「\(V = Ed\) って公式もあって、もうワケわからん！」
…って、公式アレルギーになっちゃうんだよね。
大丈夫。この2つの単語は、「重力」の世界のアナロジー（仲間さがし）で考えると、一発で理解できる。
この記事では、「電場＝重力（\(g\)）の仲間」「電位＝高さ（\(h\)）の仲間」という視点で、あの公式たち（\(kQ/r^2\) や \(kQ/r\) や \(V=Ed\)）がナゼああなるのか、全部じ〜〜っくり解説するよ！
すべての始まり：クーロンの法則
まず、電気の世界の大ボスを紹介しよう。
中学校で習ったよね。(＋)と(＋)は反発し、(＋)と(ー)は引き合う。
この、「電気を持った（帯電した）モノどうしが及ぼしあう力」のことを「静電気力（せいでんきりょく）」（またはクーロン力）と呼ぶ。
フランスの科学者クーロンさんは、この力の大きさをメチャクチャ精密に測って、一つの法則を見つけたんだ。
「2つの電気量 \(q_1\) [C] と \(q_2\) [C] が、距離 \(r\) [m] だけ離れているとき、お互いに及ぼす力 \(F\) [N] の大きさは、」
$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$
（\(k\)は比例定数で、\(k \fallingdotseq 9.0 \times 10^9\) というデカい数）
これが「クーロンの法則」だ。
…ん？この式、どこかで見たことないか？
そう、万有引力の法則 \(F = G\frac{Mm}{r^2}\) と、形がウリ二つなんだ！
どっちも「距離の2乗に反比例する力」だ。電気の世界も、重力の世界も、似たようなルールでできているみたいだね。
「電場」は「重力加速度 g」の仲間
さて、ここからが本番だ。
クーロンの法則 \(F = k\frac{q_1 q_2}{r^2}\) は、2つの電荷が「ペア」でいないと計算できない。これじゃ、ちょっと不便だ。
例えば、ここに(＋)の大きな電荷 \(+Q\) が、ドーンと置いてあるとしよう。
「もし、ここに別の電荷 \(+q\) を持ってきたら、\(+q\) は力を受けるだろうな」
「もし、ここに \(+2q\) を持ってきたら、力は2倍になるだろうな」
じゃあ、「試しに、+1 [C] の電荷を置いてみたら、どれだけの力を受けるか？」を計算しておけば、便利じゃないか？
だって、もし「+1Cあたり、10Nの力を受ける」場所だとわかれば、
「じゃあ、+3Cを置いたら、10×3 = 30Nの力を受けるね」
「-2Cを置いたら、10×(-2) = -20Nの力（逆向きに20N）を受けるね」
って、瞬時に計算できるからだ。
この、「その場所に、+1 [C] の”テスト電荷”を置いたときに受ける力」のことを、「電場（でんば）」（または電界）と呼び、\(E\) [N/C] という記号で表すんだ。
$$E = \frac{F}{q}$$
（ある場所で \(q\) [C] が \(F\) [N] の力を受けた \(\to\) 電場 \(E\) は \(F/q\) [N/C]）
（この式を変形した \(F=qE\) も超大事だ。力 \(F\) ＝ その場の電気量 \(q\) × その場の電場 \(E\) 。）
ピンと来ない？
じゃあ、「重力」で考えてみよう。
地球の表面では、質量 \(m\) [kg] の物体は、\(F = mg\) [N] の重力を受けるよね。
じゃあ、「試しに、1 [kg] の物体を置いてみたら、どれだけの重力を受けるか？」
答えは \(g\) [N] だ。（\(g \fallingdotseq 9.8\) [N/kg]）
この \(g\)（重力加速度）こそが、重力の世界の「電場」に相当するものなんだ！
アナロジー（仲間さがし）
重力の世界： 力 \(F = mg\)
. \(\to\) 1kgあたりの力： \(g = F/m\) （重力加速度）
電気の世界： 力 \(F = qE\)
. \(\to\) 1Cあたりの力： \(E = F/q\) （電場）
「電場 \(E\)」とは、電荷 \(+Q\) が、自分の周りに作っている「空間の”ゆがみ”」みたいなものだ。
その「ゆがみ（電場）」に、別の電荷 \(q\) が入ってくると、\(F = qE\) という力を受ける、という仕組みなんだね。
「電位」は「高さ」の仲間
さあ、もう一つのボス、「電位 \(V\)」だ。
電場が「力（ベクトル）」のアナロジーだったから、電位は「エネルギー（スカラー）」のアナロジーだと予想できる。
「重力」の世界で、「位置エネルギー」ってのがあったよね。
質量 \(m\) [kg] の物体を、基準の高さから \(h\) [m] だけ持ち上げると、物体は \(U = mgh\) [J] の位置エネルギーを蓄える。
電気の世界でも同じだ。
電場 \(E\) がある場所（重力 \(g\) がある場所、みたいな）で、電荷 \(+q\) を、電場に逆らって（坂道を登るみたいに）運ぶと、電荷は「電気的な位置エネルギー \(U\)」を蓄えるんだ。
でも、この「位置エネルギー \(U\)」も、\(q\) の大きさに比例しちゃうから不便だ。
「+1Cあたり、10Jの位置エネルギーを持つ」場所だとわかれば、
「じゃあ、+3Cを置いたら、10×3 = 30Jだね」
「-2Cを置いたら、10×(-2) = -20Jだね」
って、瞬時に計算できる。
この、「その場所に、+1 [C] の”テスト電荷”を置いたときに持つ、電気的な位置エネルギー」のことを、「電位（でんい）」と呼び、\(V\) [J/C] という記号で表すんだ。
（[J/C] のことを、特別に [V]（ボルト）と呼ぶことに決めたんだ。そう、あの「電圧」のボルトだ！「電圧」っていうのは、本当は「電位の”差”（電気的な”高さ”の”差”）」のことなんだね）
$$V = \frac{U}{q}$$
（ある場所で \(q\) [C] が \(U\) [J] の位置エネルギーを持った \(\to\) 電位 \(V\) は \(U/q\) [J/C]）
（この式を変形した \(U=qV\) も超大事だ。位置エネルギー \(U\) ＝ その場の電気量 \(q\) × その場の電位 \(V\) 。）
「重力」のアナロジー、もう一回！
質量 \(m\) [kg] の物体が、高さ \(h\) [m] で持つ位置エネルギーは \(U = mgh\)。
じゃあ、「試しに、1 [kg] の物体を置いたら、どれだけの位置エネルギーを持つか？」
答えは \(gh\) [J/kg] だ。
この「1kgあたりの位置エネルギー \(gh\)」こそが、重力の世界の「電位」に相当するものなんだ！
「電位」は「高さ」みたいなもんだって、わかった？
アナロジー（仲間さがし）
重力の世界： 位置エネルギー \(U = m(gh)\)
\(\to\) 1kgあたりの位置エネルギー： \(gh = U/m\) （重力ポテンシャル）
電気の世界： 位置エネルギー \(U = qV\)
\(\to\) 1Cあたりの位置エネルギー： \(V = U/q\) （電位）
「電位 \(V\)」とは、「電気的な”高さ”」のようなものだ。
水が高いところから低いところへ流れるように、(＋)の電荷は、「電位が高い」ところから「電位が低い」ところへ流れていくんだ。（(ー)の電荷（電子）はその逆だね）
公式の導出（\(E = kQ/r^2\) と \(V = kQ/r\)）
さあ、いよいよあの「2乗」と「1乗」のナゾを解こう。
「\(+Q\) [C] の電荷（親玉）が、距離 \(r\) [m] 離れた場所に作る”電場 \(E\)”」を計算しよう。
電場 \(E\) の定義は？
そう、「+1Cのテスト電荷を、そこに置いたときに受ける力」だ。
クーロンの法則 \(F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}\) を使おう。
\(q_1 = +Q\)（親玉）、\(q_2 = +1\)（テスト電荷）を代入すれば、その力 \(F\) が、そのまま電場 \(E\) になる！
$$E = F = k\frac{|(+Q) \times (+1)|}{r^2} = k\frac{Q}{r^2}$$
ほら！電場 \(E\) の公式、一瞬で導けた！
電場は「力」の仲間だから、「力」の公式（クーロンの法則）と”同じ形”（\(r^2\)に反比例）になるんだ。
次は、「\(+Q\) [C] の電荷が、距離 \(r\) [m] 離れた場所に作る”電位 \(V\)”」だ。
電位 \(V\) の定義は？
そう、「+1Cのテスト電荷を、そこ（距離r）に”持ってきた”ときに持つ、位置エネルギー」だ。
「位置エネルギー \(U\)」は、「（力 \(F\)）×（逆らって運んだ距離 \(r\)）」で計算できたよね。（本当は積分だけど）
電位 \(V\) は、+1Cを運ぶときのエネルギーだから、運ぶ力は「電場 \(E\）」だ。
$$V = (\text{力}) \times (\text{距離}) \approx E \times r$$
（本当は、\(E\) は場所によって \(kQ/r^2\) と変わるから、単純な掛け算じゃダメで、積分 \(\int E dr\) が必要なんだけど、）
ざっくりと、「\(E\)（\(r^2\)に反比例）」に「\(r\)（\(r^1\)に比例）」を1回かけるから、
$$V \propto \frac{1}{r^2} \times r^1 = \frac{1}{r^1}$$
となって、「\(r\)（\(r^1\）に反比例」になるんだ！（詳しくは「強者向け」で）
（積分した結果、電位 \(V\) の公式はこうなる）
$$V = k\frac{Q}{r}$$
ほら！電位 \(V\) の公式も導けた！
電位は「エネルギー（力×距離）」の仲間だから、「力」の公式（\(1/r^2\)）に「距離（\(r\)）」が1回かかって、\(1/r\) になるんだ。
公式の導出（\(V = Ed\)）
最後は、コンデンサーなんかでよく見る「一様な電場」の公式だ。
(＋)の板と(ー)の板を向かい合わせに置くと、その間には、まっすぐで、どこでも強さが同じ「一様な電場 \(E\)」ができる。
この「一様な電場 \(E\)」の中で、電場に逆らって「距離 \(d\)」だけ、電荷 \(+q\) を運ぶことを考えよう。
このとき、電荷 \(q\) が「された仕事」は、そのまま「位置エネルギー \(U\)」になる。
仕事 ＝ 力 × 距離
$$U = (qE) \times d$$
（力は \(F=qE\) だね）
さあ、この両辺を \(q\) で割ってみよう。
$$\frac{U}{q} = \frac{(qE)d}{q} = Ed$$
左辺の \(\frac{U}{q}\)（1Cあたりの位置エネルギー）って、なんだっけ？
そう、「電位 \(V\)」だ！
（正確には、スタート地点とゴール地点の「電位の差（電圧）」）
$$V = Ed$$
キター！3つ目の公式も、ただの「仕事の計算」から、一瞬で導けたぞ！
おわりに
今日は、「電場」と「電位」という、電磁気学の二大巨頭の「正体」と、「公式」を、アナロジーを使って丸ハダカにしたよ。
まとめ：
1. 電場 \(E\) [N/C]：
\(\to\) 「力」の仲間。（重力 \(g\)）
\(\to\) \(F=qE\)。「力」と同じ形 \(\to\) \(E = kQ/r^2\)
2. 電位 \(V\) [J/C]：
\(\to\) 「エネルギー」の仲間。（高さ \(gh\)）
\(\to\) \(U=qV\)。「力×距離」の形 \(\to\) \(V = kQ/r\)
3. 一様な電場なら：
\(\to\) エネルギー \(U = Fd = (qE)d\)
\(\to\) 電位（電圧） \(V = U/q = Ed\) \(\to\) \(V = Ed\)
「電場は力、電位はエネルギー（高さ）」
「\(E\) は \(r^2\) 分の、\(V\) は \(r\) 分の」
このイメージさえあれば、もう公式の暗記で苦しむことはないぞ！
それでは次の記事で！
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