ようこそ！サルボルトだよ
今回は、定常波（ていじょうは）と、弦・気柱の共鳴について、徹底的に勉強しよう。
ギターやバイオリン、フルートにリコーダー。世の中の「楽器」は、すべてこの物理現象を使って音を奏でている。
でも、教科書を見ると、
「弦の固有振動数 \(f_n = \frac{n}{2L}\sqrt{\frac{S}{\rho}}\) ？」
「閉管は奇数倍音（\(2n-1\)）だけ？ 開管は整数倍？」
「開口端補正 \(\Delta l\) を考慮せよ？」
と、似たような公式が大量に出てきて、どれを使えばいいのかパニックになっちゃうよね。
断言する。これらの公式は、一つも覚える必要はない。
必要なのは、たった一つの「お絵かき（作図）」のスキルだけ。
今日は、「その場から動かない不思議な波（定常波）」の正体と、それを使って「その場で公式を作る方法」を、サルでもわかるように解説するよ！
第1章：定常波ってなに？「進まない波」の正体
波といえば、「右へ左へ進んでいくもの（進行波）」だよね。
でも、ある特殊な条件が揃うと、波は「その場で足踏み」を始めて、進まなくなる。
その条件とは、「同じ波長・同じ振幅・同じ速さの波が、正面衝突したとき」だ。
壁に向かって波を送ると、跳ね返ってきた波（反射波）と、送った波（入射波）が重なるよね。これがまさにその状況だ。
重なり合った結果、場所によって「運命」が決まってしまう。
-
- 腹（はら）：
山と山、谷と谷が交互にやってきて、めちゃくちゃ大きく揺れる場所。
（大縄跳びの真ん中みたいな動き） - 節（ふし）：
常に「打ち消し合い」が起きて、全く動かない場所。
（大縄跳びの持ち手みたいな場所）
</ul class=”wp-block-list”>
- 腹（はら）：
この「腹」と「節」が交互に並んで、その場でブルブル震えている波。これが「定常波」だ。
大事な距離のルールを覚えよう。
定常波の距離ルール
・「節」から、隣の「節」までの距離 \(= \frac{\lambda}{2}\)（半波長）
・「腹」から、隣の「腹」までの距離 \(= \frac{\lambda}{2}\)（半波長）
・「節」から、隣の「腹」までの距離 \(= \frac{\lambda}{4}\)
「お団子（ラグビーボール型）1個ぶんの長さは、半波長 \(\lambda/2\)」。これさえ覚えればOKだ。
第2章：弦の振動「両端は動けない！」
ギターやバイオリンの「弦（げん）」を考えよう。
弦の両端は、ペグとかでガッチリ固定されているよね。
ということは、両端は絶対に動けない。つまり、「両端は必ず『節』になる」というのが絶対ルールだ。
長さ \(L\) の弦の中に、「両端が節」になるような定常波を描いてみよう。
1. 基本振動（一番シンプル）
両端が節で、一番シンプルな形は？
そう、真ん中に「腹」が1個だけある、大きなお団子1個の形だ。
このとき、弦の長さ \(L\) は、お団子1個分（\(\lambda/2\)）に等しい。
$$L = \frac{\lambda_1}{2} \quad \to \quad \lambda_1 = 2L$$
波の基本公式 \(v = f\lambda\) より、振動数 \(f_1\)（基本振動数）は、
$$f_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{v}{2L}$$
2. 2倍振動（お団子2個）
次にシンプルな形は？
お団子が2個入る形だ。（真ん中も節になる）
$$L = \frac{\lambda_2}{2} \times 2 = \lambda_2$$
振動数 \(f_2\) は、
$$f_2 = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{v}{L} = 2 \times \left( \frac{v}{2L} \right) = 2f_1$$
ほら、基本振動数の「2倍」になった！だから「2倍振動（2倍音）」って呼ぶんだ。
n倍振動（一般化）
お団子が \(n\) 個入るなら、
$$L = \frac{\lambda_n}{2} \times n$$
ここから \(\lambda_n = \frac{2L}{n}\) がわかり、\(f_n = \frac{v}{\lambda_n} = n \frac{v}{2L}\) と求まる。
公式を覚えるんじゃなくて、「お団子を \(n\) 個描いて、長さを測る」。これだけでいいんだ。
第3章：気柱の振動「開いてる？閉じてる？」
次は、フルートやリコーダーみたいな「管（くだ）」の中の空気の振動だ。
ポイントは、管の「端っこ」がどうなっているか。
-
-
- 閉口端（閉じている）：
壁があるから、空気は動けない。 \(\to\) 必ず「節」になる。（弦の端と同じ） - 開口端（開いている）：
壁がないから、空気は自由に暴れられる。 \(\to\) 必ず「腹」になる！
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- 閉口端（閉じている）：
-
厳密には、開口端の「腹」は、管の端っこより少しだけ外側にはみ出すんだ。
これを「開口端補正（かいこうたんほせい）\(\Delta l\)」というよ。
問題文に指示があったら、管の長さ \(L\) を \(L + \Delta l\) に置き換えて考えよう！
1. 開管（両方あいてる）
両端が「腹」になる。ストローやフルートがこれ。
基本振動：
「腹」から始まって、次の「腹」で終わる最短コース。
（真ん中に「節」が1個ある形）
腹から腹までの距離は、\(\lambda/2\) だったね。
$$L = \frac{\lambda_1}{2} \quad \to \quad \lambda_1 = 2L$$
あれ？これって「弦」の式と全く同じだ！
そう、開管は、弦と同じように「整数倍（\(f, 2f, 3f…\)）」の音が出るんだ。
2. 閉管（片方閉じてる）
片方が「節（壁）」、もう片方が「腹（出口）」になる。ビール瓶を吹くときや、クラリネットがこれ。
基本振動：
「節」から始まって、隣の「腹」で終わる最短コース。
（ラッパみたいな形）
節から腹までの距離は、\(\lambda/4\)（お団子の半分）だったね。
$$L = \frac{\lambda_1}{4} \quad \to \quad \lambda_1 = 4L$$
振動数は、
$$f_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{v}{4L}$$
お！開管（\(v/2L\)）よりも分母が大きい。\(\to\) 振動数が小さい（低い音が出る）！
同じ長さなら、閉管の方が「1オクターブ低い」音が出るんだ。
次の振動モード（3倍振動）：
「節」\(\to\)「腹」\(\to\)「節」\(\to\)「腹」。
お団子が「1個（\(\lambda/2\)）」と「半分（\(\lambda/4\)）」だ。
$$L = \frac{\lambda_3}{2} + \frac{\lambda_3}{4} = \frac{3\lambda_3}{4} \quad \to \quad \lambda_3 = \frac{4L}{3}$$
振動数は、
$$f_3 = \frac{v}{\lambda_3} = \frac{3v}{4L} = 3f_1$$
いきなり「3倍」になった！
そう、閉管は「奇数倍音（1倍, 3倍, 5倍…）」しか出ないんだ。
「2倍振動」を作ろうとすると、出口が「節」になっちゃうから、定常波ができないんだね。
物理強者向け：三角関数の和積による導出
（ここからは、ハイレベルな方には敬語を使います）
定常波が「進まない」ことを、数式で証明しましょう。
x軸の正の向きに進む正弦波 \(y_1\) と、負の向きに進む正弦波 \(y_2\) を考えます。
振幅 \(A\)、波長 \(\lambda\)、周期 \(T\) は同じとします。
$$y_1 = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right)$$
$$y_2 = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda} \right)$$
重ね合わせの原理より、合成波 \(y = y_1 + y_2\) です。
三角関数の和積公式 \(\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}\) を使います。
$$\frac{\alpha+\beta}{2} = 2\pi \frac{t}{T}, \quad \frac{\alpha-\beta}{2} = -2\pi \frac{x}{\lambda}$$
（\(\cos(-\theta) = \cos\theta\) なのでマイナスは無視できます）
よって、合成波は、
$$y = 2A \cos \left( 2\pi \frac{x}{\lambda} \right) \sin \left( 2\pi \frac{t}{T} \right)$$
この式を見てください。
\(\sin(2\pi t/T)\) は「時間とともに振動する」部分です。
一方、\(2A \cos(2\pi x/\lambda)\) は「場所 \(x\) によって決まる振幅」の部分です。
進行波の式 \(\sin(x-vt)\) のように \(x\) と \(t\) が一体になっていないため、「波形が移動する」ことはありません。
場所 \(x\) によって振幅が固定された、単振動の集まりになっています。
節の位置：
振幅がゼロになる場所、つまり \(\cos(2\pi x/\lambda) = 0\) となる \(x\) です。
\(2\pi x/\lambda = \pi/2, 3\pi/2 \dots\) より、\(x = \lambda/4, 3\lambda/4 \dots\)
隣り合う節の間隔は \(\lambda/2\) になることがわかります。
おわりに
定常波、どうだったかな？
公式を覚えるんじゃなくて、
攻略手順：
1. 両端の条件を確認（閉じてるなら節、開いてるなら腹）。
2. お絵かきをする（お団子を描く）。
3. 「長さ \(L\)」が「お団子何個分か」を数える。
4. \(v = f\lambda\) で計算する。
これだけで、どんな楽器の問題も、入試問題も、全部解けるようになるぞ！
それでは次の記事で！
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