ようこそ！サルボルトだよ
今回は、熱力学第一法則（ねつりきがくだいいちほうそく）について、徹底的に勉強しよう。
熱力学。
この単元に入った途端、多くの高校生がこう叫ぶんだ。
「\(Q = \Delta U + W\) なのか、\(\Delta U = Q + W\) なのか、どっちがどっちだかわからん！」
「仕事 \(W\) がプラスだったりマイナスだったり、参考書によって言ってることが違うぞ！」
「ボイル・シャルルはわかるけど、断熱変化って何？温度上がるの？下がるの？」
わかる。めちゃくちゃわかる。
熱力学は、「主語」を誰にするかで、式の形がコロコロ変わる、厄介な分野なんだ。
でも、安心してほしい。
今日は、教科書の公式をただ暗記するんじゃなくて、「気体分子という”小人たち”が、箱の中で何をしているのか？」というミクロな視点から、じ〜〜〜っくりと解説していく。
この記事を読み終わる頃には、符号のミスなんてあり得ないレベルで、熱力学の「心」が理解できているはずだ。
少し長い旅になるけど、ついてきてね。これは、物理をマスターするための必須科目だ。
序章：温度の正体は「ダンスの激しさ」
まず、「熱」とか「温度」とかいう言葉の正体を暴いておこう。
空気の入った風船を想像してほしい。
この中には、窒素や酸素といった「気体分子」が、無数に飛び回っている。
彼らは止まっていない。ものすごいスピード（常温で約500m/s！）でビュンビュン飛び回り、壁にバンバンぶつかっている。
ここで、一番大事な事実を伝えるよ。
温度 \(T\) とは、分子の「運動エネルギー」のことである。
そう。温度計が測っているのは、「熱さ」という謎のエネルギーじゃない。
分子たちが、「どれだけ激しく暴れまわっているか（運動エネルギー \(K = \frac{1}{2}mv^2\)）」の平均値を、人間がわかりやすい数字（℃とかK）に変換しただけのものなんだ。
- 温度が高い（高温）： 分子がメチャクチャ速く飛び回っている（激しいダンス）。
- 温度が低い（低温）： 分子がゆっくり動いている（静かなダンス）。
- 絶対零度（0K）： 分子が完全に止まった状態（ダンス終了）。
これを頭に叩き込んでおいてほしい。
「温度が上がった」と言われたら、「あ、中の小人たちがスピードアップしたんだな」と脳内変換するんだ。
第1章：登場人物紹介（\(U, Q, W\)）
熱力学の主役は、3人いる。
この3人の関係性（誰が増えたら誰が減るのか）を描いたのが、「熱力学第一法則」だ。
1. 内部エネルギー \(U\) [J]（貯金）
気体が入った箱の中にある、「全エネルギー」のこと。
さっき言った通り、気体分子は飛び回っている。つまり「運動エネルギー」を持っている。
箱の中の、すべての分子の運動エネルギーを「合計」したものが、内部エネルギー \(U\) だ。
単原子分子（ヘリウムとか）の場合、この \(U\) は、温度 \(T\) だけで決まる。
$$U = \frac{3}{2}nRT$$
（\(n\)はモル数、\(R\)は気体定数。係数の \(\frac{3}{2}\) の理由は、記事の最後の「強者向けコーナー」で証明するよ！）
大事なのは、「温度 \(T\) が上がれば、内部エネルギー \(U\) も増える」ということ。直感的だよね。（速く動く＝エネルギー増える）
これを、サルボルト流の例えで「貯金」と呼ぼう。
2. 熱量 \(Q\) [J]（給料・収入）
これは、外からバーナーで加熱したりして、気体に与えるエネルギーのこと。
「熱を加える」＝「分子にお尻ペンペンして、もっと速く動け！とエネルギーを注入する」ことだ。
これを、「給料（収入）」と呼ぼう。外から入ってくるお金だ。
3. 仕事 \(W\) [J]（出費・買い物）
ここが一番の鬼門だ。
気体は、閉じ込められていると、外に出たがって壁を押す。
もし、ピストンが動いて、気体が膨らんだら（体積 \(V\) が増えたら）、どうなる？
気体は、自分の力でピストンを「グググッ」と押して動かしたことになる。
物理では、「力を加えて、動かす」ことを「仕事」と言うんだったよね。
つまり、気体が膨らむとき、気体は「（外に対して）仕事をした（\(W_{out}\)）」ことになる。
仕事をするには、エネルギーが必要だ。自分のエネルギーを使って、外の世界に影響を与えたんだ。
これを、「出費（買い物）」と呼ぼう。自分の持っているお金（エネルギー）を使ってしまうことだ。
逆に、外から無理やりピストンを押し込まれて、圧縮されたら？
気体は「仕事をされた（\(W_{in}\)）」ことになる。これは「お小遣いをもらった」みたいなもんで、エネルギーが増えることになるぞ。
第2章：熱力学第一法則（お財布の法則）
さあ、役者は揃った。
- \(Q\)（給料）： 入ってくるエネルギー
- \(W_{out}\)（出費）： 使っちゃうエネルギー（気体がした仕事）
- \(\Delta U\)（貯金の変動）： 内部エネルギーの変化
この3つの関係、小学生でもわかるよね？
「もらった給料」から「使った出費」を引いた残りが、「貯金の増えた分」だ。
$$（給料）-（出費）=（貯金の変動）$$
これを、物理の記号にするだけ。
$$Q – W_{out} = \Delta U$$
教科書によっては、\(Q\) について解いた形で書かれていることが多い。
$$Q = \Delta U + W_{out}$$
これが、熱力学第一法則だ！
熱力学第一法則（サルボルト式）
\(Q = \Delta U + W_{out}\)
（加えた熱量）＝（内部エネルギーの増加）＋（気体が外にした仕事）
「入ってきた熱エネルギーは、自分自身の温度上昇（\(\Delta U\)）と、外への仕事（\(W_{out}\)）に使われる」
この「\(Q = \Delta U + W_{out}\)」の形を、基本として覚えておこう。一番ミスが少ない。
（※ 教科書によっては \(\Delta U = Q + W\) と書いてあることもある。この場合の \(W\) は「仕事をされた（\(W_{in}\)）」場合だ。出費じゃなくて「臨時収入」扱いしているわけだね。意味を考えれば同じことだけど、混乱するなら \(W_{out}\) で統一して、「された」ときはマイナスにすればいい！）
第3章：4つの変化とP-Vグラフ
ここからは実践編。
この第一法則 \(Q = \Delta U + W_{out}\) を使って、気体の色々な変化（状態変化）を分析していく。
そのための最強ツールが、P-Vグラフ（縦軸が圧力 \(P\)、横軸が体積 \(V\)）だ。
1. 定積変化（体積 \(V\) が一定）
ピストンを固定して、動かなくした状態で加熱する。
体積が変わらない（膨らまない）ということは、ピストンを押して動かしてない。
つまり、仕事 \(W_{out} = 0\) だ！
第一法則はこうなる。
$$Q = \Delta U + 0 \quad \to \quad Q = \Delta U$$
「もらった給料（熱）が、全額貯金（温度上昇）に回る」。
だから、定積変化は温度が上がりやすいんだ。
2. 定圧変化（圧力 \(P\) が一定）
ピストンを自由に動けるようにして、加熱する。気体は膨張しながら、圧力は一定に保たれる。
このとき、気体は膨らむから、仕事をする。その大きさは、
$$W_{out} = P \Delta V$$
（仕事＝力×距離 \(= (PS) \times \Delta x = P(S\Delta x) = P\Delta V\)。長方形の面積だ！）
第一法則は、
$$Q = \Delta U + P\Delta V$$
「もらった給料の一部を、買い物（膨張）に使って、残りを貯金した」。
定積変化と比べると、仕事に使っちゃったぶん、貯金（温度上昇）は少なめになる。
（ここから、マイヤーの関係式 \(C_p = C_v + R\) が導かれるんだけど、それはまた別の機会に）
3. 等温変化（温度 \(T\) が一定）
温度を一定に保ちながら（例えば、氷水につけながらゆっくり）変化させる。
温度 \(T\) が変わらないということは…？
そう、内部エネルギーの変化 \(\Delta U = 0\) だ！（\(U\)は\(T\)だけで決まるからね）
第一法則は、
$$Q = 0 + W_{out} \quad \to \quad Q = W_{out}$$
「もらった給料を、全額買い物に使った（貯金増減なし）」。
もしくは、「仕事をしたぶんだけ、熱をもらって補給した」とも言える。
P-Vグラフは、ボイルの法則 \(PV = (一定)\) に従うので、反比例の曲線（双曲線）になるよ。
4. 断熱変化（熱の出入り \(Q\) がゼロ）
断熱材で囲ったり、ものすごく素早く動かしたりして、熱の出入りをシャットアウトする。
もちろん、\(Q = 0\) だ。
第一法則は、
$$0 = \Delta U + W_{out} \quad \to \quad \Delta U = -W_{out}$$
これはどういうこと？
気体が膨張して仕事をする（\(W_{out} > 0\)）と、\(\Delta U\) はマイナスになる。
つまり、「給料なしで買い物したから、貯金を切り崩した（温度が下がった）」ということだ！
逆に、圧縮されたら（\(W_{out} < 0\)）、\(\Delta U\) はプラスになる。
「仕事をされたら、そのぶんエネルギーが溜まって熱くなった」。
自転車の空気入れが熱くなるのは、まさにこれ（断熱圧縮）だね。
なんで断熱圧縮で温度が上がるのか、分子の気持ちで考えてみよう。
迫ってくる壁（ピストン）に向かってボール（分子）を投げると、跳ね返ったボールの速度はアップするよね？（テニスのスマッシュと同じ！）
分子の速度が上がる \(\to\) 運動エネルギーが増える \(\to\) 温度が上がる！
ほら、ちゃんとつじつまが合う！
実践演習：熱サイクルを解こう！
では、実際に問題を解いてみよう。この表を埋められれば、免許皆伝だ。
1molの単原子分子理想気体がある。状態A（\(P_0, V_0, T_0\)）からスタートし、以下のサイクルを行った。気体定数を\(R\)とする。
- 過程1（A \(\to\) B）： 定積変化で、圧力を \(2P_0\) にした。
- 過程2（B \(\to\) C）： 定圧変化で、体積を \(2V_0\) にした。
- 過程3（C \(\to\) A）： 直線的に変化させて、元の状態Aに戻した。
各過程における \(Q, \Delta U, W_{out}\) を、\(RT_0\) を用いて求めよ。
下準備：各点の温度を知る
まず、状態方程式 \(PV = nRT\) を使って、各点の温度を \(T_0\) で表そう。
- 状態A： \(P_0 V_0 = RT_0\) （これが基準）
- 状態B： \((2P_0) V_0 = R T_B \quad \to \quad T_B = 2T_0\)
- 状態C： \((2P_0) (2V_0) = R T_C \quad \to \quad T_C = 4T_0\)
これで準備完了だ。
解説
過程1（A \(\to\) B）：定積変化
- \(W_{A\to B}\)： 体積変化なし \(\to\) 0
- \(\Delta U_{A\to B}\)： \(\frac{3}{2}R(T_B – T_0) = \frac{3}{2}R(2T_0 – T_0) = \frac{3}{2}RT_0\)
- \(Q_{A\to B}\)： 第一法則より \(\Delta U + W = \frac{3}{2}RT_0 + 0 = \frac{3}{2}RT_0\)
過程2（B \(\to\) C）：定圧変化
- \(W_{B\to C}\)： \(P\Delta V = (2P_0)(2V_0 – V_0) = 2P_0 V_0 = 2RT_0\)
- \(\Delta U_{B\to C}\)： \(\frac{3}{2}R(T_C – T_B) = \frac{3}{2}R(4T_0 – 2T_0) = 3RT_0\)
- \(Q_{B\to C}\)： \(3RT_0 + 2RT_0 = 5RT_0\)
過程3（C \(\to\) A）：圧縮
- \(W_{C\to A}\)： P-Vグラフの面積（台形）だが、体積が減っているので負。
面積 \(= \frac{1}{2}(P_0 + 2P_0)(V_0 – 2V_0) = -\frac{3}{2}P_0 V_0 = -\frac{3}{2}RT_0\) - \(\Delta U_{C\to A}\)： \(\frac{3}{2}R(T_A – T_C) = \frac{3}{2}R(T_0 – 4T_0) = -\frac{9}{2}RT_0\)
- \(Q_{C\to A}\)： \(-\frac{9}{2}RT_0 + (-\frac{3}{2}RT_0) = -6RT_0\) （熱を放出した）
確かめ算（1周）：
\(\Delta U_{total} = \frac{3}{2} + 3 – \frac{9}{2} = 0\) （行って帰ってこれた！）
正解！
物理強者向け：気体分子運動論（ミクロな導出）
（ここからは、ハイレベルな方には敬語を使います）
なぜ、\(U = \frac{3}{2}nRT\) なのか？ なぜ、温度は「運動エネルギー」なのか？
それを、ニュートン力学（運動方程式）から完全に導き出しましょう。
一辺 \(L\) の立方体の箱の中に、質量 \(m\) の気体分子が \(N\) 個入っているとします。
ある1個の分子が、速度 \(v_x\) で壁に衝突し、弾性衝突して \(-v_x\) で跳ね返ったとします。
このとき、分子が受けた力積の大きさは \(2mv_x\) です。
逆に、壁は \(2mv_x\) の力積を受け取ります。
この分子は、往復距離 \(2L\) を移動するごとに1回壁に衝突するので、1秒間に衝突する回数は \(\frac{v_x}{2L}\) 回です。
よって、壁がこの1個の分子から受ける平均の力 \(f\) は、
$$f = (\text{1回の力積}) \times (\text{1秒間の回数}) = 2mv_x \times \frac{v_x}{2L} = \frac{mv_x^2}{L}$$
箱の中には \(N\) 個の分子がいます。それぞれの速度の成分はバラバラですが、平均値を \(\overline{v_x^2}\) とすると、壁全体が受ける力 \(F\) は、
$$F = N \times \frac{m\overline{v_x^2}}{L}$$
圧力 \(P\) は、力 \(F\) を面積 \(L^2\) で割ったものなので、
$$P = \frac{F}{L^2} = \frac{N m \overline{v_x^2}}{L^3} = \frac{N m \overline{v_x^2}}{V}$$
ここで、空間は等方的なので、\(\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}\) であり、全速度の二乗平均 \(\overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2} = 3\overline{v_x^2}\) が成り立ちます。
よって、\(\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}\) を代入すると、
$$P = \frac{1}{3} \frac{Nm\overline{v^2}}{V}$$
変形して、\(PV = \frac{2}{3} N \left( \frac{1}{2}m\overline{v^2} \right)\)
これを、理想気体の状態方程式 \(PV = nRT\) と比較します。（\(N = n N_A\) アボガドロ数）
$$nRT = \frac{2}{3} n N_A \left( \frac{1}{2}m\overline{v^2} \right)$$
ここから、分子1個あたりの平均運動エネルギー \(\bar{K}\) が求まります。
$$\bar{K} = \frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2} \frac{R}{N_A} T = \frac{3}{2} k_B T$$
（\(k_B\) はボルツマン定数）。まさに、「温度 \(T\) とは運動エネルギーである」ことが証明されました。
そして、気体全体（\(n\) モル）の内部エネルギー \(U\) は、これを全分子数 \(N\) 倍したものです。
$$U = N \times \bar{K} = (n N_A) \times \frac{3}{2} \frac{R}{N_A} T = \frac{3}{2} nRT$$
こうして、\(U = \frac{3}{2}nRT\) が、ニュートンの運動方程式から導かれました。感動的ですね。
おわりに
熱力学第一法則、どうだったかな？
ややこしい式変形も、「お金（エネルギー）の貸し借り」だと思えば、当たり前のことしか言っていない。
迷ったら、こうつぶやこう。
「もらった給料（Q）で、買い物（W）をして、残りを貯金（\(\Delta U\)）する」
このイメージさえあれば、熱力学はもうキミの得意分野だ！
それでは次の記事で！
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