ようこそ！サルボルトだよ。
前回の記事では、単振動の運動方程式を立てるところまでやったね。
今回は、いよいよその方程式を「解いて」、公式を導き出す冒険に出かけるよ！
前回の記事をまだ読んでいない人は、先にそっちを読んでくるとスムーズだよ。
（リンク：単振動とは？フックの法則と単振動の運動方程式を結びつけて考えよう）
さて、今回のテーマは「微分積分を使って、単振動を完全攻略する」こと。
高校物理の教科書では、いきなり「単振動の公式はこれです、覚えましょう」ってなることが多い。
$$x = A \sin \omega t$$
$$v = A \omega \cos \omega t$$
$$a = -A \omega^2 \sin \omega t$$
$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$
「うわっ、文字がいっぱい…」
「\(\omega\)（オメガ）って何者？」
「なんで \(\sin\) が出てくるの？」
そんな疑問を抱えたまま、ただ公式を暗記するのは苦痛だよね。
でも、実はこれらは全部、たった一つの式（運動方程式）から、数学の力を使って「自然に湧き出てくる」結果なんだ。
今日は、その「湧き出てくる感動」を味わってもらおうと思う。
数学Ⅲの微分の知識が少し必要だけど、できるだけ直感的にわかるように解説するから、安心してついてきてほしい。
第1章：運動方程式のおさらいと「変身」
まずは、前回立てた運動方程式を思い出そう。
バネ定数 \(k\) のバネに、質量 \(m\) のおもりがついている。
自然長（つりあいの位置）を原点 \(x=0\) として、おもりの位置を \(x\) とすると、バネの力（復元力）は \(-kx\) だった。
$$F = -kx$$
これをニュートンの運動方程式 \(ma = F\) に代入すると、
$$ma = -kx$$
ここまではOKかな？
加速度 \(a\) の正体は「2回微分」
ここで、物理と数学をつなぐ重要な鍵を使う。
「速度 \(v\)」とは、位置 \(x\) が時間 \(t\) でどう変化するか、つまり「位置を時間で微分したもの」だ。
$$v = \frac{dx}{dt}$$
そして、「加速度 \(a\)」とは、速度 \(v\) が時間 \(t\) でどう変化するか、つまり「速度を時間で微分したもの」だ。
$$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\right) = \frac{d^2x}{dt^2}$$
つまり、加速度 \(a\) は、「位置 \(x\) を時間 \(t\) で 2回微分したもの」と言い換えられるんだ。
これを、さっきの運動方程式に代入してみよう。
$$m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$
両辺を \(m\) で割って整理すると、こうなる。
$$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m} x$$
これが、単振動の正体を暴くための「宝の地図（微分方程式）」だ！
第2章：数式からの「ナゾナゾ」
この式を、日本語に翻訳してみよう。
ナゾナゾ：
「ある関数 \(x(t)\) があります。
この関数を、時間 \(t\) で2回微分したら、
元の関数 \(x(t)\) に、マイナスの定数 \((-k/m)\) を掛けたものに戻りました。
さて、この関数 \(x(t)\) は何でしょう？」
さあ、考えてみてほしい。
微分しても微分しても、形が崩れずに、符号だけ変わって戻ってくる不死身のような関数。
…そう、「三角関数（\(\sin\) や \(\cos\)）」だ！
試しに、\(x = \sin(t)\) を微分してみよう。
1回微分： \(x’ = \cos(t)\)
2回微分： \(x” = -\sin(t)\)
ほら！ \(\sin\) が \(-\sin\) になって戻ってきた！
つまり、単振動の動き \(x(t)\) は、\(\sin\) や \(\cos\) のような「波の形」になることが、この時点で確定したんだ。
実際に、バネにおもりをつけて揺らしながら、横に紙を引っ張ると、見事なサインカーブ（波）が描ける実験動画がある。
これを見てイメージを膨らませよう。
第3章：\(\omega\)（オメガ）の誕生
形は \(\sin\) っぽいとわかった。
でも、元の式には \(-\frac{k}{m}\) という係数がついている。
ただの \(\sin(t)\) だと、2回微分しても係数は \(-1\) にしかならない。
どうすれば \(-\frac{k}{m}\) を出せるだろう？
そこで、\(x = \sin(\omega t)\) というふうに、\(t\) の前に係数 \(\omega\)（オメガ）をつけてみよう。
（合成関数の微分を使うよ！）
- 1回微分： \(\frac{dx}{dt} = \omega \cos(\omega t)\) （\(\omega\) が1個飛び出す）
- 2回微分： \(\frac{d^2x}{dt^2} = \omega \cdot (-\omega \sin(\omega t)) = -\omega^2 \sin(\omega t)\)
$$ \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x $$
おっ！ これで元の式 \(\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m} x\) とそっくりになった。
係数を見比べてみよう。
$$ \omega^2 = \frac{k}{m} $$
つまり、
$$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $$
と決めちゃえば、つじつまが合うんだ！
これが、教科書にいきなり出てくる謎の文字 \(\omega\)（角振動数）の正体だ。
「数式をキレイに合わせるために、\(\sqrt{k/m}\) をひとまとめにして名前をつけた」
ただそれだけのことだったんだよ。
第4章：一般解と初期条件
さて、\(x = \sin(\omega t)\) が解の一つであることはわかった。
でも、\(\cos(\omega t)\) も、2回微分したら \(-\omega^2 \cos(\omega t)\) になるから、こっちも解になりそうだ。
さらに、振幅（揺れ幅）が大きくても小さくても、微分で出てくる係数には関係ないから、定数 \(A\) を掛けてもいい。
数学的には、これらを全部ひっくるめた「一般解（いっぱんかい）」は、次のように書ける。
$$x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$$
ここで、新しい文字が2つ出てきた。
- \(A\)（振幅）： どれくらい大きく揺れるか？
- \(\phi\)（初期位相）： スタート地点はどこか？（\(t=0\) のときの位置）
この \(A\) と \(\phi\) は、「最初にどうやって揺らし始めたか？（初期条件）」によって決まる値だ。
ケーススタディ：2つのスタート方法
パターン1：原点からスタート（\(t=0\) で \(x=0\)）
止まっているおもりを、バチン！と叩いてスタートさせる場合。
\(x(0) = A \sin(\phi) = 0\) だから、\(\phi = 0\) でいい。
$$x(t) = A \sin \omega t$$
パターン2：端っこからスタート（\(t=0\) で \(x=A\)）
おもりを限界まで引っ張って、静かに手を離す場合。
\(x(0) = A \sin(\phi) = A\) だから、\(\sin(\phi)=1\)、つまり \(\phi = \frac{\pi}{2}\)（90度）だ。
\(\sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) = \cos(\omega t)\) なので、
$$x(t) = A \cos \omega t$$
教科書の問題では、このどちらかのパターンになることがほとんどだ。
「引っ張って離す」なら \(\cos\)、「叩いてスタート」なら \(\sin\) と使い分ければいい。
第5章：速度、加速度、そして周期
位置 \(x(t)\) がわかれば、あとはボーナスステージだ。
微分するだけで、速度も加速度も全部求まる。
基本形 \(x = A \sin \omega t\) でやってみよう。
速度 \(v\)（1回微分）
$$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(A \sin \omega t) = A \omega \cos \omega t$$
最大速度 \(v_{max}\) は、\(\cos=1\) のときだから、
$$v_{max} = A\omega$$
加速度 \(a\)（もう1回微分）
$$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(A \omega \cos \omega t) = A \omega \cdot (-\omega \sin \omega t) = -A \omega^2 \sin \omega t$$
よく見ると、\(A \sin \omega t\) は \(x\) そのものだから、
$$a = -\omega^2 x$$
となり、最初の微分方程式に戻ってきた！完璧だ。
周期 \(T\)（1往復の時間）
三角関数 \(\sin(\omega t)\) は、中身の角度（位相）が \(2\pi\) 増えると、元の形に戻る。
つまり、1往復する時間 \(T\)（周期）が経つと、\(\omega T = 2\pi\) になるはずだ。
よって、
$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$
ここに、自分で定義した \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\) を代入すると、
$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$
おめでとう！
あの「ミカン（\(m\)）の上にリンゴ（\(k\)）は乗らない」とかいう語呂合わせで覚えていた公式を、自分の力で導き出すことができた！
おわりに
どうだったかな？
単振動の公式は、バラバラに存在するんじゃなくて、すべて「運動方程式 \(F=ma\)」という一つの根っこから生えている枝葉なんだ。
この流れ（運動方程式 \(\to\) 微分方程式 \(\to\) \(\sin\)関数 \(\to\) 周期 \(T\)）を一度自分で紙に書いて再現してみてほしい。
それができれば、もう公式を忘れることなんて怖くない。
いつでもその場で「再発明」できるんだからね。
それでは次の記事で！
コメント