ようこそ！サルボルトだよ
今回は、レンズの公式について、徹底的に勉強しよう。
メガネ、スマホのカメラ、望遠鏡…僕らの生活はレンズだらけだ。
でも、物理の授業でレンズが出てくると、みんな嫌な顔をする。
$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$$
この式自体はシンプルだ。中学生でも覚えられる。
問題は、この式を使うときの「符号（プラス・マイナス）」だ。
「\(b\) がマイナスになるのは、虚像のときだっけ？凹レンズのときだっけ？」
「\(f\) がマイナスになるのはどっちだっけ？」
「実像と虚像って、そもそも何が違うの？」
この「符号パニック」に陥って、光の分野を捨ててしまう人が後を絶たない。
大丈夫。レンズの公式は、丸暗記するもんじゃない。
「光の道筋（作図）」さえイメージできれば、符号なんて当たり前に決まるんだ。
今日は、凸レンズの仕組みから、実像・虚像の正体、そして「フェルマーの原理」を使った美しすぎる導出まで、レンズの全てを解説するよ！
第1章：レンズの仕組みと「3つの光」
まずは、一番基本の「凸（とつ）レンズ」を考えよう。虫眼鏡のアレだ。
レンズの問題を解くには、たった「3本の代表的な光」の進み方を知っていればいい。
物体（ロウソクなど）の「てっぺん」から出た光が、レンズを通ってどう進むか？
- 平行に進む光：
レンズを通ったあと、折れ曲がって「焦点 \(F\)」を通る。 - 中心を通る光：
レンズの中心はガラスが平らだから、折れ曲がらずに「直進」する。 - 手前の焦点 \(F’\) を通る光：
1の逆。レンズを通ったあと、「平行」に進む。
この3本の光が、レンズの向こう側で「一点に集まる」場所。
そこに、物体の「てっぺん」の像ができるんだ。
第2章：「実像」と「虚像」の違い
ここで、言葉の定義をハッキリさせておこう。
1. 実像（Real Image）
さっきの作図みたいに、光がレンズを通ったあと、実際に一点に集まってできる像のこと。
ここに「白い紙（スクリーン）」を置くと、どうなると思う？
実際に光が集まっているから、紙の上にクッキリとロウソクの絵が映るんだ！
これが「実像」だ。映画館のスクリーンも、プロジェクターのレンズが作った実像だよ。
2. 虚像（Virtual Image）
もし、物体をレンズにめちゃくちゃ近づけたら（焦点距離より内側）、どうなる？
光はレンズを通ったあと、広がってしまって、二度と交わらない。
でも、その広がった光を、レンズの向こうから「人間の目」で見ると、脳みそが勘違いをする。
「光は直進してくるはずだ…ということは、この光は『あっち（奥）』から来たんだな？」
脳みそが、光を逆向きにたどった（点線）先に、ボワッと大きな像が見える。
これが「虚像」だ。虫眼鏡で拡大して見ているとき、キミが見ているのは虚像だ。
虚像の場所にスクリーンを置いても、光は集まっていないから、何も映らない。人間の目（やカメラ）を通して初めて見える、幽霊みたいな像なんだ。
第3章：公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) の導出
さあ、作図ができれば、公式は「三角形の相似」だけで作れる。
以下の文字を使うよ。
- \(a\)：物体とレンズの距離
- \(b\)：レンズと像の距離
- \(f\)：焦点距離
- \(h\)：物体の大きさ
- \(h’\)：像の大きさ
ステップ1：倍率 \(m\) を求める
「中心を通る光」に注目しよう。
物体（高さ\(h\)、距離\(a\)）と、像（高さ\(h’\)、距離\(b\)）が作る、2つの直角三角形は「相似」だ。
だから、高さの比（倍率 \(m\)）は、距離の比と同じになる。
$$m = \frac{h’}{h} = \frac{b}{a}$$
これが倍率の公式だ。「像の距離 \(b\)」が遠くなるほど、像はデカくなるんだね。
ステップ2：写像公式を作る
次に、「平行に進んで焦点を通る光」に注目しよう。
レンズの場所（高さ\(h\)）から焦点（距離\(f\)）までの三角形と、像（高さ\(h’\)）から焦点（距離 \(b-f\)）までの三角形も、相似だ。
比の式を立てると、
$$h : f = h’ : (b-f)$$
これより、倍率 \(\frac{h’}{h}\) は、
$$\frac{h’}{h} = \frac{b-f}{f} = \frac{b}{f} – 1$$
さっきのステップ1で、\(\frac{h’}{h} = \frac{b}{a}\) だったから、これをつなげると、
$$\frac{b}{a} = \frac{b}{f} – 1$$
この式の両辺を \(b\) で割って、整理すると…
$$\frac{1}{a} = \frac{1}{f} – \frac{1}{b} \quad \to \quad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$$
完成！これがレンズの公式だ！
幾何学的に、ただの「相似」から導かれた式なんだね。
第4章：符号のルール（サルボルト式）
さあ、一番厄介な「プラス・マイナス」の話だ。
教科書にはいろんなルールが書いてあるけど、サルボルト式はこうだ。
サルボルト流・レンズの符号ルール
1. \(f\)（焦点距離）： 「光を集める」ならプラス、「散らす」ならマイナス。
・凸レンズ / 凹面鏡（集める） \(\to\) \(f > 0\)
・凹レンズ / 凸面鏡（散らす） \(\to\) \(f < 0\)
2. \(b\)（像の距離）： 「光が実際に届く場所」ならプラス、「届かない（幽霊）」ならマイナス。
・実像（レンズの向こう側） \(\to\) \(b > 0\)
・虚像（レンズの手前側） \(\to\) \(b < 0\)
例題：
焦点距離 \(10 \text{cm}\) の凸レンズがある。物体をレンズの手前 \(5 \text{cm}\) に置いた。像はどこにできる？
解答：
\(f = 10\)（凸レンズだからプラス）、\(a = 5\)。
公式に代入すると、
$$\frac{1}{5} + \frac{1}{b} = \frac{1}{10}$$
$$\frac{1}{b} = \frac{1}{10} – \frac{1}{5} = \frac{1}{10} – \frac{2}{10} = -\frac{1}{10}$$
よって、\(b = -10 \text{cm}\)。
「マイナス」が出た！
ということは、これは「虚像」だ。
レンズの「手前（物体と同じ側）」\(10 \text{cm}\) の場所に、虚像ができる、という意味だ。
倍率は \(m = |b/a| = |-10/5| = 2\) 倍。
これが「虫眼鏡」の使い方だね！
物理強者向け：フェルマーの原理による導出
（ここからは、ハイレベルな方には敬語を使います）
レンズの公式は、幾何学（三角形の相似）でも導けますが、波動としての本質は「フェルマーの原理（最短時間の原理）」にあります。
フェルマーの原理とは、「光は、A点からB点まで進むとき、所要時間が最小（極値）になる経路を通る」というものです。
レンズが像を結ぶとき、実は驚くべきことが起きています。
物体の一点Pから出た光は、レンズの真ん中を通ったり、端を通ったり、無数のルートを通って像の一点Qに集まります。
このとき、「どのルートを通っても、PからQまでの所要時間は全く同じ」なのです。（だからこそ、位相が揃って強め合い、像ができるのです）
これを確かめてみましょう。
光軸から距離 \(h\) の場所を通る光を考えます。
物体距離 \(a\)、像距離 \(b\) とします。
幾何学的な距離（道のり）\(L\) は、三平方の定理より、
$$L = \sqrt{a^2 + h^2} + \sqrt{b^2 + h^2}$$
「近軸光線（\(h \ll a, b\)）」という近似（\(h\)が小さい）を使うと、\(\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2\) より、
$$L \approx a\left(1 + \frac{h^2}{2a^2}\right) + b\left(1 + \frac{h^2}{2b^2}\right) = (a+b) + \frac{h^2}{2}\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$$
幾何学的な距離は、真ん中（\(h=0\)）より、端っこ（\(h\)大）の方が、\(\frac{h^2}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\) だけ長くなります。
しかし！レンズは真ん中が分厚く、端っこが薄いですね。
ガラスの中（屈折率 \(n\)）では、光速は \(1/n\) に落ちます。つまり、ガラスが分厚いほど、通過に時間がかかり、「距離を損する」のです。
レンズの厚さが \(h^2\) に比例して薄くなっているとしましょう（球面レンズの近似）。
レンズによる「距離の短縮効果（光路長の減少）」が、ちょうど幾何学的な「距離の増加」を打ち消せば、トータルの時間は一定になります。
その「打ち消す条件」こそが、
$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (一定値)$$
となり、この一定値がレンズの性能 \(\frac{1}{f}\) になるのです。
つまり、レンズの公式とは、「真ん中のルートも端っこのルートも、同時に到着するようにガラスの厚みを調整しました！」という式だったのです。
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