ようこそ！サルボルトだよ
今回は、万有引力（ばんゆういんりょく）とケプラーの法則について、徹底的に勉強しよう。
力学のラスボスだ。スケールがいきなり「宇宙」になる。
「リンゴは落ちるのに、なんで月は落ちてこないの？」
「地球の周りを回る人工衛星の速さは？」
「位置エネルギー \(U = -G\frac{Mm}{r}\) … なんでマイナスがつくんだよ！」
特に最後の「マイナス」で、多くの受験生が思考停止に陥る。
「\(mgh\) はプラスだったじゃん！なんで宇宙に行くとマイナスになるの？エネルギーが負ってどういうこと？」
わかる。めちゃくちゃ気持ち悪いよね。
でも、安心してほしい。
この記事では、「ケプラーの発見」から「ニュートンのひらめき」への歴史的な流れを追いながら、最大のナゾである「マイナスのエネルギー」の意味を、サルでもわかるように「穴掘り」の例えで完全解説するよ。
第1章：ケプラーの3つの法則「惑星の動きにはルールがある！」
ニュートンが出てくる少し前、ヨハネス・ケプラーという人が、師匠（ティコ・ブラーエ）が残した膨大な天体観測データを解析して、ある「3つのルール」を見つけた。
これが「ケプラーの法則」だ。
第一法則：楕円軌道の法則
「惑星は、太陽を一つの焦点とする『楕円（だえん）』軌道を描く」
昔はみんな「円（まんまる）」だと思ってた。でも実は、ちょっとつぶれた「楕円」だったんだ。
第二法則：面積速度一定の法則
「惑星と太陽を結ぶ線分が、単位時間に描く面積は一定である」
これは、何を言っているかというと、「太陽に近いときは速く、遠いときは遅く動く」ということだ。
フィギュアスケートの選手が、手を縮めると回転が速くなるのと同じ原理（角運動量保存則）なんだけど、ケプラーは観測データだけでこれに気づいた。スゴイ。
第三法則：調和の法則
「公転周期 \(T\) の2乗は、軌道の長半径 \(a\) の3乗に比例する」
$$\frac{T^2}{a^3} = k \quad (一定)$$
「遠くの惑星ほど、一周するのにメチャクチャ時間がかかる」という法則だ。
（地球は1年だけど、土星は約30年かかるよね）
ケプラーは、「どう動くか（How）」は発見した。でも、「なぜそう動くのか（Why）」まではわからなかった。
その「Why」を解き明かしたのが、アイザック・ニュートンだ。
第2章：万有引力の法則「リンゴも月も同じだ！」
ニュートンは考えた。
「月が地球の周りを回っている（円運動している）ということは、月は常に地球に向かって引っ張られているはずだ（向心力）。」
「この力は、木からリンゴを落とす力（重力）と、同じものなんじゃないか？」
そして彼は、ケプラーの第三法則などをヒントに、とんでもない式を導き出した。
すべての物体（質量を持つもの）は、お互いに引き合っている。その力 \(F\) は、
$$F = G \frac{Mm}{r^2}$$
- \(M, m\)：2つの物体の質量 [kg]
- \(r\)：物体間の距離 [m]（中心間の距離）
- \(G\)：万有引力定数（ものすごく小さい値）
これが「万有引力の法則」だ。
「距離 \(r\) の2乗に反比例する」というのがポイントだ。離れれば離れるほど、力は急激に弱くなる。
「じゃあ、地上の重力 \(mg\) とは何が違うの？」
いい質問だ！
地上の重力 \(mg\) は、この万有引力の「簡易版」なんだ。
地球の質量を \(M\)、半径を \(R\) とすると、地上の物体（距離 \(R\)）にかかる万有引力は、
\(F = G\frac{Mm}{R^2} = m \times \left( G\frac{M}{R^2} \right)\)
このカッコの中身 \(( G\frac{M}{R^2} )\) を計算すると、なんと約9.8になる。
そう、これが重力加速度 \(g\) の正体だったんだ！
第3章：最大のナゾ「位置エネルギーがマイナス！？」
さあ、ここからが本番だ。
万有引力による位置エネルギー \(U\) の公式を見てみよう。
$$U = -G \frac{Mm}{r}$$
マイナスがついている。しかも、距離 \(r\) が大きい（遠くに行く）ほど、\(U\) はゼロに近づく（大きくなる）。
「？？？ 高いところに行くほどエネルギーは増えるはずなのに、なんでマイナス？」
これを理解するために、「宇宙の穴」を想像してほしい。
宇宙空間は、何もない平らな地面だとする。ここを「エネルギーの基準（0ジュール）」としよう。
これを「無限遠（むげんえん）」と呼ぶ。地球からずーっと離れた、引力の影響がない場所だ。
そこに、地球という重たい星がある。
地球は、周りの空間をズズズ…と引きずり込んで、深い深い「穴（落とし穴）」を作っているようなものだ。
この「穴」に落ちてしまったのが、僕たちだ。
- 無限遠（穴の外）： 自由な世界。エネルギーは 0。
- 地表（穴の底）： 穴に落ちている状態。ここから「外（0）」に出るには、ものすごいエネルギーが必要だ。
もし、「穴の底」のエネルギーがプラス（例えば100）だったら、何もしなくても外（0）に飛び出せちゃうことになる。おかしいよね。
「外（0）」よりも低いんだから、穴の中のエネルギーは「マイナス」でなきゃいけないんだ！
地表の位置エネルギー \(U = -G\frac{Mm}{R}\) というのは、
「お前は宇宙の借金生活者だ！ 無限遠（自由）に行きたければ、借金 \(G\frac{Mm}{R}\) を返せ（エネルギーを払え）！」
という意味なんだ。
ロケットを打ち上げるっていうのは、燃料を燃やして運動エネルギー \(K\) を作り、この「マイナスの位置エネルギー（借金）」を完済して、プラマイゼロ（無限遠）に脱出する行為なんだよ。
これがわかれば、「第二宇宙速度（脱出速度）」の式も一瞬で作れる。
$$ \frac{1}{2}mv^2 + \left( -G\frac{Mm}{R} \right) = 0 $$
（運動エネルギー ＋ 借金 ＝ 完済！）
第4章：力学的エネルギー保存則と楕円軌道
惑星や人工衛星の運動では、この「力学的エネルギー保存則」が大活躍する。
$$E = \frac{1}{2}mv^2 – G\frac{Mm}{r} = (一定)$$
特に、「楕円軌道」の問題では、これと「面積速度一定の法則」を連立させて解くのが鉄板パターンだ。
地表すれすれを円軌道で回っていた人工衛星（速さ \(v_1\)）を加速させ、速さを \(v_2\) にしたところ、地球の中心から距離 \(3R\) の地点まで到達する楕円軌道になった。\(v_2\) を \(v_1\) を用いて表せ。
考え方：
1. 近地点（スタート）： 距離 \(R\)、速さ \(v_2\)
2. 遠地点（ゴール）： 距離 \(3R\)、速さ \(v_3\)（未知数）
未知数が \(v_2\) と \(v_3\) の2つあるから、式が2つ必要だ。
- 面積速度一定の法則：（\(r \times v\) が一定）
\(R \times v_2 = 3R \times v_3 \quad \to \quad v_3 = \frac{1}{3}v_2\) - エネルギー保存則：
\(\frac{1}{2}m v_2^2 – G\frac{Mm}{R} = \frac{1}{2}m v_3^2 – G\frac{Mm}{3R}\)
この2つを連立すれば、必ず解ける！
（ちなみに、最初の円軌道の速さ \(v_1\) は、運動方程式 \(m\frac{v_1^2}{R} = G\frac{Mm}{R^2}\) から求まるよ。これを \(GM\) の消去に使うんだ）
物理強者向け：積分による位置エネルギーの導出
（ここからは、ハイレベルな方には敬語を使います）
なぜ、位置エネルギー \(U\) は \(-G\frac{Mm}{r}\) なのか？
「無限遠を基準（0）とする」という定義に従って、万有引力を積分して導出しましょう。
位置エネルギー \(U(r)\) の定義は、「基準点（\(\infty\)）から、その点 \(r\) まで、物体を運ぶのに、外力がする仕事」です。
万有引力 \(F = G\frac{Mm}{x^2}\) は「引力（中心向き）」なので、逆らって運ぶ外力は「外向き」に同じ大きさが必要です。
しかし、無限遠から \(r\) まで運ぶ（近づける）場合、外力は万有引力を支える方向（外向き）に加えつつ、移動方向は内向き（\(dr < 0\)）になります。
計算しやすいように、「点 \(r\) から無限遠まで運ぶ仕事」を考え、それにマイナスをつける（＝位置エネルギーの差）と考えましょう。
点 \(r\) にある物体を、無限遠まで引き離すのに必要な仕事 \(W\) は、
$$W = \int_{r}^{\infty} F(x) dx = \int_{r}^{\infty} G\frac{Mm}{x^2} dx$$
\(\frac{1}{x^2}\) の積分は \(-\frac{1}{x}\) ですから、
$$W = GmM \left[ -\frac{1}{x} \right]_{r}^{\infty} = GmM \left( 0 – \left( -\frac{1}{r} \right) \right) = G\frac{Mm}{r}$$
つまり、穴の底（\(r\)）から外（\(\infty\)）に出るためには、プラスの仕事 \(G\frac{Mm}{r}\) が必要だということです。
エネルギー保存則的に言えば、
\(U(r) + W = U(\infty) = 0\)
となるので、移項して、
$$U(r) = -W = -G\frac{Mm}{r}$$
となり、公式が導かれました。
積分範囲が \(\infty\) を含む広義積分ですが、\(\frac{1}{r^2}\) は遠方で急速に0に収束するため、有限の値（ポテンシャル）を持つことができるのです。
おわりに
万有引力、どうだったかな？
「位置エネルギーがマイナス」というのは、最初はギョッとするけど、「借金生活」だと思えばわかりやすい。
まとめ：
1. 万有引力：\(F = G\frac{Mm}{r^2}\)（2乗に反比例！力だ！）
2. 位置エネルギー：\(U = -G\frac{Mm}{r}\)（1乗に反比例！エネルギーだ！）
3. マイナスの意味：無限遠（0）より低い「穴の中」にいるから。
4. 楕円軌道：「面積速度一定」と「エネルギー保存」の連立で倒せ！
スケールは大きくても、やることは地上の物理（力学）と同じ。
「力」と「エネルギー」を使い分けて、宇宙の旅を楽しんでくれ！
それでは次の記事で！
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